Funkcijos

Tiesinis reiškinys (tiesinė funkcija)

$f(x)=kx$

$f(x) = 3x - 4$

$f(3) = 3\cdot 3 - 4 = 5$
$f(-4) = 3\cdot (-4) - 4 = -16$

Grafikas

Tiesinio reiškinio grafikas yra tiesė. Nubrėžti tiesei pakanka 2 taškų (galimi ir 3)

$f(x) = kx$
$k$ - skaičius

$f(x) = 2x$

$g(x) = 4x$

$h(x) = -3x$

• Funkcijos $f(x) = kx$ grafikas yr atiesė, einanti per koordinačių sistemos pradžią $O(0; 0)$
• Jei $k > 0$
  • Tiesė kyla į viršų (funkcija yra didėjančioji)
  • Kuo $k$ didesnis, tuo tiesė kyla staigiau
• Jei $k < 0$
  • Tiesė leidžiasi į apačią (funkcija yra mažėjančioji)
  • Kuo $k$ mažesnis, tuo tiesė statesnė

$f(x) = kx + b$

$f(x) = 2x- 4$

$g(x) = x+2$

$h(x) = -3x + 5$

$k(x) = -2x + 3$

• Jei $k< 0$, tai tiesė kyla į viršų (funkcija didėjančioji)

• Jei $k > 0$, tai tiesė leidžiasi žemyn (funkcija mažėjančioji)
  
  

• Skaičius $b$ parodo, kuriame taške tiesė kerta $y$ ašį

• $k$ - tiesės krypties koeficientas

$f(x) = a$

$f(x)=4$

$g(x)=-2$

• Funkcijos grafikas yra tiesė, lygiagreti $x$ ašiai

• Ji - nei didėjanti, nei mažėjanti, o pastovioji
  
  

• Jeigu tiesių krypties koeficientai yra lygūs, tai tiesės yra lygiagrečios

  Jei $k_1 = k_2$, tai $\parallel$

  Jei $k_1 \ne k_2$, tai $\nparallel$

• Jeigu $k_1 \cdot k_2 = -1$, tai tiesės yra statmenos

  Jei $k_1 \cdot k_2 = -1$, tai $\perp$

  Jei $k_1 \cdot k_2 \ne -1$, tai $\not\perp$

Tiesinės lygties rašymas iš brėžinio

• Jei tiesė eina per koordinačių sistemos pradžią

  1. Užrašome bendrą funkcijos pavidalą (tiesės lygtį)

     $f(x) = kx$

  2. Surandame tašką, priklausantį tiesei, ir jo koordinates įrašome į funkciją

     $f(x) = kx$;     $y= kx$

     $A(-3; 4)$;     $x=-3$;    $y = 4$

     $4= k \cdot (-3)$

     $k = -\dfrac{4}{3}$

     $f(x) = -\dfrac{4}{3}x$

• Jei tiesė neeina per koordinačių pradžią

  1. $f(x) = kx + b$

  2. Randame du taškus, priklausančius tiesei, ir jų koordinates įrašome į funkciją. Gauname lygčių sistemą Ją išsprendę, randame $k$ ir $b$ reikšmes.

  $f(x) = kx + b$;     $y=kx + b$

  $A(4; 3)$;     $B(-2; -1;)$

  $\begin{cases} 3 = k\cdot 4 + b \\ -1 = k \cdot (-2) + b \end{cases}$

  $\underline{ \begin{cases} 4x + b = 3 \\ -2k + b = 1 \end{cases}+ }$

  $3b = 1$

  $b = \dfrac{1}{3}$

  $4k + b = 3$

  $4k + \dfrac{1}{3} = 3$

  $4k = \dfrac{8}{3}$

  $k = \dfrac{2}{3}$

  $f(x) = \dfrac{2}{3}x + \dfrac{1}{3}$

• Jei sąlyga prašo parašyti funkciją, tada rašome $f(x) = kx$ arba $f(x) = kx + b$

• Jei sąlyga prašo parašyti tiesės lygtį, tada rašome $y=kx$ arba $y= kx+ b$

• Kartais būna duoti du taškai (per kuriuos eina tiesė) be brėžinio, tada rašome $f(x) = kx + b$, nes nežinome ar tiesė eina per koordinačių sistemos pradžią.

Teigiamų ir neigiamų funkcijos reikšmių intervalai

$f(x) = 0$, kai $x= 2$

$f(x) > 0$, kai $x \in (2; +\infty)$

$f(x) < 0$, kai $x \in (-\infty; 2)$

Intervale, kur funkcijos reikšmės yra:

• Teigiamos - grafikas yra virš $x$ ašies

• Neigiamos - grafikas yra žemiau $x$ ašies

$f(x) > 0$, kai $x \in (-\infty; 5)$

$f(x) < 0$, kai $x \in (5; +\infty)$

Teigiamų ir neigiamų reikšmių intervalus galime nustatyti ne tik iš brėžinio, bet ir algebraiškai.

Kaip rasti taškus. kur funkcijos grafikas kerta koordinačių ašis

Taške, kuriame grafikas kerta $x$ ašį, $y$ koordinatė lygi $0$, todėl ieškodami šio taško koordinačių, į funkciją vietoj $y$ įrašome $0$.

Taške, kuriame grafikas kerta $y$ ašį, $x$ koordinatė lygi $0$, todėl ieškodami šio taško koordinačių, į funkciją vietoj $x$ įrašome $0$.

$f(x) = - \dfrac{1}{3}x + 12$

Kerta $Ox$ ašį:

$y= 0$ $0 = - \dfrac{1}{3}x + 12$

$\dfrac{1}{3}x = 12$

$x = 36$

Kerta $Oy$ ašį:

$x = 0$

$f(0) = -\dfrac{1}{3} \cdot 0 + 12 = 12$

Ats.: Kerta $Ox$ ašį taške $(36; 0)$ ir $Oy$ ašį taške $(0; 12)$

Tiesės $x=a$ ir $y=a$

Tiesė $x=a$ yra lygiagreti $y$ ašiai ir eina per $x$ ašies tašką $a$

$x= 3$

$x=5$

$x=-2$

Tiesė $y=a$ yra lygiagreti $x$ ašiai ir eina per $y$ ašies tašką $a$

$y = 2$

$y = -3$

Kaip rasti 2 funkcijų grafikų susikirtimo tašką be brėžinio?

$f(x) = 2x - 3$     $g(x) = -4x + 3$

1. Lygčių sistema

   $\begin{cases} 2x - 3 = y \\ -4x + 3 = y \end{cases}$

   $\underline{\begin{cases} 4x - 6 = 2y \\ -4x + 3 = y \end{cases}+}$

   $-3 = 3y$

   $y = -1$

   $2x - 3 = y$

   $2x - 3 = -1$

   $2x = 2$

   $x = 1$

   Ats.: $(1; -1)$

2. Sulyginimas

   $2x - 3 = -4x + 3$

   $2x + 4x = 3 + 3$

   $6x = 6$

   $x = 1$

   $y = 2x - 3$

   $y= 2 \cdot 1 - 3 = -1$

   Ats.: $(1 -1)$

Kvadratinė funkcija

Kvadratinės funkcijos grafikas - parabolė.

$f(x) = ax^2$

Parabolės viršūnė yra koordinaąčių pradžios taške $O(0;0)$

Jei $a > 0$, tai parabolės šakos nukreiptos į viršų.

Jei $a < 0$, tai parabolės šakos nukreiptos į apačią.

Grafiką galima braižyti sudarant reiškimių lentelę iš $4$ - $5$ taškų.

1. $f(x) = x^2$

   $x$	$0$	$1$	$-1$	$2$	$-2$
   $f(x)$	$0$	$1$	$1$	$4$	$4$

2. $g(x) = -2x^2$

   $x$	$0$	$1$	$-1$	$2$	$-2$
   $g(x)$	$0$	$-2$	$-2$	$-8$	$-8$

3. $h(x) = \dfrac{1}{5}x^2$

   $x$	$0$	$5$	$-5$	$10$	$-10$
   $h(x)$	$0$	$5$	$5$	$20$	$20$

$f(x) = x^2 + c$

Parabolės viršūnė $y$ ašyje, taške $V(0; c)$

1. $f(x) = x^2 - 6$

   $x$	$0$	$1$	$-1$	$2$	$-2$
   $f(x)$	$-6$	$-5$	$-5$	$-2$	$-2$

2. $g(x) = 7 - 2x^2$

   $x$	$0$	$1$	$-1$	$2$	$-2$
   $g(x)$	$7$	$5$	$5$	$-1$	$-1$

$f(x) = ax^2 + bx + c$

Grafikas nebraižomas su lentele

1. Askaičiuojame parabolės viršūnės koordinates:

   $V(x_0; y_0)$

   $x_0 = - \dfrac{b}{2a}$

   $y_0$ randame, įsistatę $x_0$ reikšmę į funkciją

2. Apskaičiuojame taškų koordinates, kuriose parabolė kerta $Ox$ ašį

3. Apskaičiuojame taškų koordinates kuriose parabolė kerta $Oy$ ašį

4. Nustatome parabolės šakų kryptį

5. Brėžiame grafiką

1. $f(x) = x^2 -2x + 3$

   $V(x_0; y_0)$

   $x_0 = - \dfrac{b}{2a} = - \dfrac{-2}{2 \cdot 1} = 1$

   $y_0 = 1^2 - 2 - 3 = -4$

   $V(1; –4)$

   Kerta $Ox$, kai $y=0$

   $x^2 - 2x - 3 = 0$

   $D = b^2 - 4ac = 4 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 +12 = 16$

   $x_1 = \dfrac{-b +\sqrt{D}}{2a} = \dfrac{2+4}{2} = 3$

   $x_2 = \dfrac{-b -\sqrt{D}}{2a} = \dfrac{2-4}{2} = -1$

   $(3; 0)$; $(-1; 0)$

   Kerta $Oy$, kai $x=0$

   $f(0) = 0^2 - 2\cdot 0 - 3 = -3$

   $(0; -3)$

2. $g(x) = 6x - x^2$

   $V(x_0; y_0)$

   $x_0 = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-6}{-2} = 3$

   $y_0 = 6 \cdot 3 - 3^2 = 18 - 9 = 9$

   Kerta $Ox$, kai $y = 0$

   $6x - x^2 = 0$

   $x(6-x) = 0$

   $x_1 = 0$

   $6 - x = 0$

   $x_2 = 6$

   $(0; 0)$; $(6; 0)$

   Kerta $Oy$, kai $x= 0$

   $6\cdot 0 - 0^2 = 0$

   $(0; 0)$

Teigiamų ir neigiamų funkcijos reikšmių intervalai

1. $f(x) > 0$, kai

   $x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$

   $f(x) < 0$, kai

   $x \in (-1; 2)$

2. $f(x) > 0$, kai

   $x \in (1; 5)$

   $f(x) < 0$, kai

   $x \in (-\infty; 1) \cup (5; +\infty)$

3. $f(x) > 0$, kai

   $x \in (-\infty; +\infty)$

   Nėra $x$ reišmių su kuriomis $f(x) < 0$
   (funkcijos reikšmės būtų neigiamos)

Funkcijos reikšmių didėjimo ir mažėjimo intervalai

1. Funkcijos reikšmės didėja, kai

   $x \in (0.5; +\infty)$

   Funkcijos reikšmės mažėja, kai

   $x \in (-\infty; 0.5)$

2. Funkcijos reikšmės didėja, kai

   $x \in (-\infty; 3)#

   Funkcijos reikšmės mažėja, kai

   $x \in (3; +\infty)$

3. Funkcijos reikšmės didėja, kai

   $x \in (-2; +\infty)$

   Funkcijos rekšmės mažėja, kai

   $x \in (-\infty; -2)$

4. Funkcijos reikšmės didėja, kai

   $x \in (-\infty; 5)$

   Funkcijos reikšmės mažėja, kai

   $x \in (-\infty; 5)$

Funkcijos nuliai. Parabolės simetrijos ašis

Tos $x$ reikšmės, kur funkcijos reikšmė yra $0$, vadinamos funkcijos nuliais.

Vertikali tiesė (lygiagreti $y$ ašiai), einanti per parabolės viršūnę, vadinama parabolės simetrijos ašimi.

1. Funkcijos nuliai: $x = -1$; $x = 2$

   Simetrijos ašis yra tiesė, kurios lygtis $x = 0.5$

2. Funkcijos nuliai: $x = 1; x= 5$

   Simetrijos ašis yra tiesė, kurios lygtis x = 3

3. Funkcija neturi nulių

   Simetrijos ašis yra tiesė, kurios lygtis $x = -2$

4. Funkcijos nuliai: $x = 4$; $x = 6$

   Simetrijos ašis yra tiesė, kurios lygtis $x = 5$

Funkcijos reikšmių sritis. Didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmės

1. $y=x^2 -x -2$

   $V(x_0; y_0)$

   $x_0 = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{1}{2} = 0.5$

   $y_0 = 0.5^2 - 0.5 - 2 = 0.25 - 0.5 - 2 = -2.25$

   $V(0.6; -2.25)$

   Mažiausia funkcijos reikšmė $y = -2.25$

   Mažiausią reikšmę funkcija įgyja, kai $x=0.5$

   Didžiausios reikšmės funkcija neturi

   Funkcijos reikšmių sritis $y \in [-2.25; +\infty)$

2. $V(3; 2)$

   Mažiausios reikšmės funkcija neturi

   Didžiausia funkcijos reikšmė $y=2$

   Didžiausią reikšmę funkcija įgyja, kai $x = 3$

   Funkcijos reikšmių sritis $E_f = (-\infty; 2]$

3. $V(-2; 1)$

   Mažiausia funkcijos reikšmė $y = 1$

   Mažiausią reikšmę funkcija įgyja, kai $x = -2$

   Didžiausios reikšmės funkcija neturi

   Funkcijos reikšmių sritis $E(f) = [1; +\infty)$

4. $V(5; -1)$

   Mažiausia funkcijos reikšmė $y = -1$

   Mažiausią reikšmę funkcija įgija, kai $x = 5$

   Didžiausios rekšmės funcija neturi

   Funkcijos reikšmių sritis $y \in [-1; +\infty)$

Parabolės lygties rašymas iš brėžinio

Jeigu parabolės viršūnė yra koordinačių pradžios taške $O(0;0)$, tada funkcijos bendrasis pavidalas $f(x) = ax^2$

1. $f(x) = ax^2$

   $(2; 4)$

   $4 = a \cdot 2^2$

   $4a = 4$

   $a = 1$

   $f(x) = x^2$

   Ats.: $f(x) = x^2$

2. $f(x) = ax^2$

   $(2; -4)$

   $-4 = 2^2a$

   $a = -1$

   $f(x) = -x^2$

   Ats.: $f(x) = -x^2$

Jeigu parabolės viršūnė yra $y$ ašyje, tada funkcijos bendrasis pavidalas yra $f(x) = ax^2 + c$

3. $f(x) = ax^2 + c$

   $c = -4$

   $f(x) = ax^2 - 4$

   $(2; 0)$

   $a2^2 - 4 = 0$

   $4a - 4 = 0$

   $4a = 4$

   $a = 1$

   $f(x) = x^2 - 4$

   Ats.: $f(x) = x^2 - 4$

4. $f(x) = ax^2 + b$

   $c = -3$

   $f(x) = ax^2 -3$

   $(1; –2)$

   $1a - 3 = -2$

   $a = 1$

   $f(x) = x^2 - 3$

   Ats.: $f(x) = x^2 - 3$

5. $f(x) = ax^2 + b$

   $c = 3$

   $f(x) = ax^2 + 3$

   $(1; 4)$

   $a + 3 = 4$

   $a = 1$

   $f(x) = x^2 + 3$

Jeigu parabolės viršūnė yra ne koordinačių sistemos pradžioje ir ne $y$ ašyje, tada funkcijos bendrasis pavidalas yra $f(x) = ax^2 + bx +c$

6. $f(x) = ax^2 + bx + c$

   $(-2; 1)$, $(0; 3)$

   $\begin{cases} a\cdot(-2)^2 + b\cdot(-2) + c = -1 \\ a\cdot0^2 + b\cdot0 + c = 3 \\ -\dfrac{b}{2a} = -2 \end{cases}$

   $\begin{cases} 4a - 2b + c = -1 \\ c = 3 \\ b = 4a \end{cases}$

   $4a - 2(4a) + 3 = -1$

   $4a - 8a + 3 = -1$

   $-4a + 3 = -1$

   $a= 1$

   $b = 4a = 4 \cdot 1 = 4$

   $f(x)= x^2 + 4x + 3$

   Ats.: $f(x) = x^2 + 4x + 3$

7. $f(x) = ax^2 + bx + c$

   $(2; 7)$, $(3; 6)$

   $\begin{cases} a\cdot2^2 + b\cdot2 + c = 7 \\ a\cdot3^2 + b\cdot3 + c = 6 \\ -\dfrac{b}{2a} = 2 \end{cases}$

   $\begin{cases} 4a + 2b + c = 7 \\ 9a + 3b + c = 6 \\ b = -4a \end{cases}$

   $\begin{cases} 4a + 2\cdot(-4a) + c = 7 \\ 9a + 3\cdot(-4a) + c = 6 \end{cases}$

   $\begin{cases} 4a - 8a + c = 7 \\ 9a - 12a + c = 6 \end{cases}$

   $\begin{cases} -4a + c = 7 \\ -3a + c = 6 \end{cases}$

   $\underline{ \begin{cases} -4a + c = 7 \\ 3a - c = -6 \end{cases}+ }$

   $-a = 1$

   $a = -1$

   $b = -4a = -4 \cdot (-1) = 4$

   $3a - c = -6$

   $3 \cdot (-1) - c = -6$

   $-3 - c = -6$

   $-c = -3$

   $c = 3$

   $f(x) = -x^2 + 4x + 3$

   Ats.: $f(x) = -x^2 + 4x + 3$

8. $f(x) = ax^2 + bx + c$

   $(1; 2)$, $(3; 0)$

   $\begin{cases} a\cdot1^2 + b\cdot1 + c = 2 \\ a\cdot3^2 + b\cdot3 + c = 0 \\ -\dfrac{b}{2a} = 1 \end{cases}$

   $\begin{cases} a + b + c = 2 \\ 9a + 3b + c = 0 \\ b = -2a \end{cases}$

   $\begin{cases} a - 2a + c = 2 \\ 9a - 6a + c = 0 \end{cases}$

   $\begin{cases} -a + c = 2 \\ 3a + c = 0 \end{cases}$

   $\underline{ \begin{cases} -a + c = 2 \\ -3a - c = 0 \end{cases}+ }$

   $-4a = 2$

   $a = -0.5$

   $b = -2a = -2 \cdot (-0.5) = 1$

   $-a + c = 2$

   $0.5 + c = 2$

   $c = 1.5$

   $f(x) = -0.5x^2 + x + 1.5$

   Ats.: $f(x) = -0.5x^2 + x + 1.5$

Parabolių braižymo atskyri atvejai

1. $f(x) = x^2 - 4x + 4$

   $V(x_0; y_0)$

   $x_0 = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-4}{2} = 2$

   $y_0 = 2^2 - 4 \cdot 2 + 4 = 4 - 8 + 4 = 0$

   $V(2; 0)$

   Kerta $Ox$, kai $y = 0$

   $x^2 - 4x + 4 = 0$

   $(x - 2)^2 = 0$

   $x = 2$

   $(2; 0)$

   Kerta $Oy$, kai $x = 0$

   $0^2 - 4 \cdot 0 + 4 = 4$

   $(0; 4)$

   $x$	$4$	$3$	$1$
   $f(x)$	$4$	$1$	$1$

2. $f(x) = x^2 - 2x + 2$

   $V(x_0; y_0)$

   $x_0 = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-2}{2} = 1$

   $y_0 = 1^2 - 2 \cdot 1 + 2 = 1 - 2 + 2 = 1$

   $V(1; 1)$

   Kerta $Ox$, kai $y = 0$

   $x^2 - 2x + 2 = 0$

   $D = b^2 - 4ac = 4 - 8 = -4$

   Lygtis sprendinių neturi

   Parabolė nekerta $x$ ašies

   Kerta $Oy$, kai $x = 0$

   $0^2 - 2 \cdot 0 + 2 = 2$

   $(0; 2)$

   $x$	$-1$	$3$
   $f(x)$	$5$	$5$

Kvadratinių grafikų transformacijos

Pakeitus formulę transformuojasi funkcijos grafikas

Funkcijos $f(x) = ax^2$ koeficientas $a$ daro įtaką šakų išsiplėtimui arba susigrūdimui, kuo skaičius $|a|$ didesnis, tuo labiau parabolės šakos glaudžiasi prie $y$ ašies.

$f(x) = ax^2 + c$

Jeigu skaičius $c$ teigiamas, grafikas kyla per $c$ vienetus

Jeigu skaičius $c$ neigiamas, grafikas leidžiasi per $c$ vienetus

$f(x) = a(x+m)^2$     $\leftarrow$

$f(x) = a(x-m)^2$     $\rightarrow$

Vienoje funkcijoje gali būti kelios transformacijos

Parabolės lygtis rašoma pavidalu $f(x) = a(x+m)^2 + n$

1. Pagal viršūnės padėtį nustatome $m$ ir $n$ reikšmes

2. Pasirinkę konkretų tašką, įrašome jo koordinates į parabolės lygtį ir apskaičiuojame $a$ reikšmę