Geometrija

Stačiojo trikampio smailiojo kampo:

• Sinusas - statinio, esančio prieš kampą, ir įžambinės santykis
  $sin \angle A = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{a}{c}$

• Kosinusas - statinio, esanšio prie kampo ir įžambinės santykis
  $cos \angle A = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{b}{c}$

• Tangentas - statinio, esančio prieš kampą, ir statinio, esanąčio prie kampo santykis
  $tg \angle A = \dfrac{BC}{AC} = \dfrac{a}{b}$

• Kotangentas - statinio, esančio prie kampo ir statinio, esančio prie kampą, santykis
  $ctg \angle A = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{b}{a}$

Įrodymai

$\triangle ABC$ - statusis
$BC = a$;     $AB=2a$

Pitagoro teorema:
$c^2 = a^2 + b^2$
$AC^2=AB^2-BC^2$ $= (2a)^2 - a^2 = 4a^2 - a^2 = 3a^2$
$AC=\sqrt{3a^2}=a\sqrt{3}$

$sin 30 \degree = \dfrac{a}{2a} = \dfrac{1}{2}$
$cos 30 \degree = \dfrac{a\sqrt{3}}{2a} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$tg 30 \degree = \dfrac{a}{a\sqrt{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$ctg 30 \degree = \dfrac{a\sqrt{3}}{a} = \dfrac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$

$sin 60 \degree = \dfrac{a\sqrt{3}}{2a} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$cos 60 \degree = \dfrac{a}{2a} = \dfrac{1}{2}$
$tg 60 \degree = \dfrac{a\sqrt{3}}{a} = \sqrt{3}$
$ctg 60 \degree = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$

$\triangle ABC$ - statusis
$AC = BC = a$

Pitagoro teorema:
$c^2 = a^2 + b^2$
$c^2 = a^2 + 2a^2$
$c^2 = 2a^2$
$c^2 = 2a^2$
$c=a\sqrt{2}$

$sin 45 \degree = \dfrac{a}{a\sqrt{2}}$ $= \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ $= \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$cos 45 \degree = \dfrac{a}{a\sqrt{3}}$ $= \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ $= \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$tg 45 \degree = \dfrac{a}{a} = 1$
$ctg 45 \degree = \dfrac{a}{a} = 1$

$sin \alpha = \dfrac{BC}{AB}$     $cos \alpha = \dfrac{AC}{AB}$
$tg \alpha = \dfrac{BC}{AC}$     $ctg \alpha = \dfrac{AC}{BC}$

Trigonometrinio vieneto formulė:
$sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$

$sin^2 \alpha + cos^2 \alpha$ $= (\dfrac{BC}{AB})^2 + (\dfrac{AC}{AB})^2$ $= \dfrac{BC^2}{AB^2} + \dfrac{AC^2}{AB^2}$ $= \dfrac{BC^2 + AC^2}{AB^2}$ $= \dfrac{AB^2}{AB^2} = 1$

$\dfrac{sin \alpha}{cos \alpha} = tg \alpha$

$\dfrac{sin \alpha}{cos \alpha}$ $= \dfrac{BC:AB}{AC:AB}$ $= \dfrac{BC}{AB} : \dfrac{AC}{AB}$ $= \dfrac{BC}{AB} \cdot \dfrac{AB}{AC}$ $= tg \alpha$

$\dfrac{cos \alpha}{sin \alpha} = ctg \alpha$

$\dfrac{cos \alpha}{sin \alpha}$ $= \dfrac{AC:AB}{BC:AB}$ $= \dfrac{AC}{AB} : \dfrac{BC}{AB}$ $= \dfrac{AC}{AB} \cdot \dfrac{AB}{AB}$ $= \dfrac{AC}{AB} = ctg \alpha$

$\dfrac{tg \alpha}{ctg \alpha} = 1$

$tg \alpha \cdot ctg \alpha$ $= \dfrac{BC}{AC} \cdot \dfrac{AC}{BC}$ $= \dfrac{BC}{BC} = 1$

$tg^2\alpha + 1 = \dfrac{1}{cos^2\alpha}$

$sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$
$\dfrac{sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha} + \dfrac{cos^2 \alpha}{cos^2 \alpha}$ $= \dfrac{1}{cos^2 \alpha}$

$sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$

$\dfrac{sin^2 \alpha}{sin^2 \alpha} + \dfrac{cos^2 \alpha}{sin^2 \alpha}$ $= \dfrac{1}{sin^2 \alpha}$
$1 + ctg^2 \alpha = \dfrac{1}{sin^2 \alpha}$

$\smile AB$ (senose knygose $\overset{\smile}{AB}$) - apskritimo lankas

$\angle AOB$ - centrinis kampas

Apskritimų lankai gali būti matuojami ne tik $cm$ / $mm$ / $m$ / $dm$ / $...$, bet ir $\degree$

Yra laikoma, kad apskritimo lankas turi tiek laispnių, kiek jį atitinkantis centrinis kampas.

Jei $\angle AOB = 70 \degree$, tai $\smile AB = 70 \degree$

$\angle ABC$ - įbrėžtinis kampas

Įbrėžtinis kampas - toks kampas, kurio viršūnė yra ant apskritimo.

Įbrėžtinis kampas $\angle ABC$ remiasi į lanką $\smile AC$

Įbrėžtinis kampas yra dvigubai mažesnis negu lankas į kurį jis remiasi

Jei $\angle ABC = 30 \degree$, tai $\smile AC = 60 \degree$

Jeigu centrinis ir įbrėžtinis kampai remiasi į tą pačia lanką, tai centrinis kampas dviubai didesnis už įbrėžtinę.

$\angle AOB = 2 \cdot \angle ACB$

Jeigu du įbrėžtiniai kampai remiasi į tą patį lanką, tai jie yra lygūs

$\angle ACB = \angle ADB$

Jeigu įbrėžtinis kampas remiasi į apskrtimo skersmenį, jis yra status.

$\angle ACB = 90 \degree$ ir $\smile 180 \degree$

Tiesė $AB$ - apskritimo kirstinė

Tiesė $a$ - apskritimo liestinė

Liestinė su apskritimu turi vieną brendrą tašką

Liestinė yra statmena apskritimo spinduliui, nubrėžtam į lietimosi tašką

$\triangle ABO$ - statusis
$AB^2 = AB^2 - BO^2 = a^2 - r^2$
$AB = \sqrt{a^2 - r^2}$
$\triangle AOB = \triangle AOC$
$AB = AC$

Jeigu iš vieno taško nubrėžtos dvi apskritimo liestinės, tai atstumai nuo to taško iki lietimosi taškų yra lygūs.

$AE \cdot ED = CE \cdot ED$

$a \cdot m = c \cdot k$

$C = 2 \pi r$

$l = C_{išpj.} = \dfrac{2\pi r}{360\degree} \cdot \alpha$

$S = \pi r^2$

$S_{išpj.} = \dfrac{\pi r^2}{360\degree} \cdot \alpha$

$OM \perp AB$, tada

$AM = BM$

1. Brėžiame atkarpas $OA$ ir $OB$
2. $OA = OB = r$
3. $\triangle AOB$ - lygiašonis aukštinė $OM$ ya bendra
4. $AM = BM$

Minučių rodyklė:

Per $60min$ - $360\degree$
Per $1min$ - $6 \degree$

$v_{min} = 6 \dfrac{laispniai}{min}$

Valandų rodyklė:

Per $60min$ - $360 \degree$
Per $1min$ - $\dfrac{1}{2} \degree$

$v_{val} = 0.5 \dfrac{laipsniai}{min}$

Per $80min$ minučių rodyklė nueina $6\degree \cdot 80 = 480\degree$