Lygtys

Kvadratinė lygtis

$ax^2 + bc + c = 0$     ($a \neq 0$)

Lygtys, kuriose $b \ne 0$ ir $c \ne 0$ vadinamos pilnosiomis kvadratinėmis lygtimis.

Lygtys, kuriose nors vienas iš $b$ arba $c = 0$, vadinamos nepilnosiomis kvadratinėmis lygtimis.

Nepilnoji kvadratinė lygtis

$c = 0$

1. $x^2 + 18x = 0$

   $x(x+18x)=0$

   $x=0$

   $x + 18 = 0$

   $x = -18$

2. $\dfrac{2}{7}x^2 = 10x$

   $\dfrac{2}{7}x^2 - 10x = 0$

   $x(\dfrac{2}{7}x - 10) = 0$

   $x = 0$

   $\dfrac{2}{7}x - 10 = 0$

   $\dfrac{2}{7}x = 10$

   $x = 35$

3. $\sqrt{3}a-2a^2 = 0$

   $a(\sqrt{3} - 2a) = 0$

   $a = 0$

   $\sqrt{3} - 2a = 0$

   $2a = \sqrt{3}$

   $a = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

4. $3x^2 = 48$

   $x^2 = 16$

   $x=4$     $x=-4$

5. $x^2 = 7$

   $x = -\sqrt{7}$     $x = \sqrt{7}$

6. $x^2 = - 6$

   Ats.: Lygtis sprendinių neturi lygtis negalima

7. $x^2 = 0$

   $x = 0$

Pilonoji kvadratinė lygtis

$ax^2 + bx + c = 0$

$D = b^2 - 4ac$     $\leftarrow$ diskriminantas

$x_1 = \dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a}$

$x_2 = \dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a}$

1. $x^2 - 2x - 15 = 0$

   ($a=1$; $b=-2$; $c=-15$)

   $D=b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4\cdot 1 \cdot (-15) = 4+60 = 64$

   $x_1 = \dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \dfrac{2+8}{2\cdot1}= \dfrac{10}{2}=5$

   $x_2 = \dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \dfrac{2-8}{2\cdot1}= \dfrac{-6}{2}=-3$

   Ats.: $-3$; $5$

2. $3x^2 - 7x + 4 = 0$

   ($a=3$; $b=-7$; $c=4$)

   $D=b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4\cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$

   $x_1 = \dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \dfrac{7+1}{2\cdot 3}= \dfrac{8}{6}=1 \dfrac{1}{3}$

   $x_2 = \dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \dfrac{7-1}{2\cdot 3}= \dfrac{6}{6}=1$

   Ats.: $1$; $1 \dfrac{1}{3}$

3. $x^2+ 6x + 9=0$

   ($a=1$; $b=-7$; $c=9$)

   $D = b^2 - 4ac = 36-4\cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$

   $x_1 = \dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-6+0}{2\cdot 1} = -3$

   $x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-6-0}{2\cdot 1} = -3$

   Jei $D = 0$, tai lygtis turi du vienodus sprendinius

   Ats.: $-3$

4. $3x^2 + 4x - 1 = 0$

   ($a=3$; $b=4$; $c=-1$)

   $D=b^2 - 4ac = 16-4 \cdot 3 \cdot (-1) = 16 + 12 = 28$

   $x_1 = \dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-4 + \sqrt{28}}{2\cdot 3} = \dfrac{-2 + 2\sqrt{7}}{3}$

   $x_2 = \dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-4 - \sqrt{28}}{2\cdot 3} = \dfrac{-2 - 2\sqrt{7}}{3}$

   Ats.: $\dfrac{-2 + 2\sqrt{7}}{3}$;   $\dfrac{-2 - 2\sqrt{7}}{3}$

5. $4x^2 - x + 2 = 0$

   ($a=4$; $b=-1$; $c = 2$)

   $D = b^2 - 4ac = 1-4\cdot4\cdot 2 = 1 -32 = -31$

   Lygtis sprendinių neturi / sprendinių nėra

Sprendinių skaičius

• $D > 0$, tai lygtis turi 2 skirtingus sprendinius $x_1$ ir $x_2$

• $D = 0$, tai lygtis turi du vienodus (vieną sprendinį) $x_1 = x_2$

• $D < 0$, tai lygtis sprendinių neturi

Kvadratinio trinario skaidymas daugikliais

$ax^2 + bx + c = a(x-x_1)(x-x_2)$

1. Prilyginti kvadratinį trinarį 0 ir apskaičiuoti $D$

2. Nustatyti lygties sprendinių skaičių, jeigu turi, galime išskaidyti pagal aukščiau nurodytą formulę

3. Kai $a \ne 1$, tai jį galima įkelti į vienus iš skliaustus

1. $x^2 - 4x - 60$

   $x^2 - 4x - 60 = 0$

   $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 16 + 240 = 256$

   $x_1 = \dfrac{4 + 16}{2} = 10$

   $x_2 = \dfrac{4 - 16}{2} = -6$

   $x^2 - 4x - 60 = 1(x-10)(x+6) = (x-10)(x+6)$

2. $3x^2-7x-40$

   $3x^2-7x-40 = 0$

   $D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-40) = 49 + 480 = 529$

   $x_1 = \dfrac{7 + 23}{6} = 5$

   $x_2 = \dfrac{7 - 23}{6} = \dfrac{-16}{6}=-2 \dfrac{2}{3}$

   $3x^2-7x-40 = 3(x-5)(x+2 \dfrac{2}{3}) = (3x-15)(x+\dfrac{8}{3})$

Redukuotoji kvadratinė lygtis

Lygtis, kurios koeficientas $a= 1$

Vijeto teorema

Redukuotosios kvadratinės lygties sprendinių sandauga lygi $c$, o sprendinių suma lygi $-b$

$x^2 + bx + c = 0$

$x_1 \cdot x_2 = c$

$x_1 + x_2 = -b$

1. $x^2 - 6x + 5 = 0$

   $x_1 \cdot x_2 = 5$

   $x_1 + x_2 = -6$

   $x_1 = 5$;     $x_2 = 1$     (naudojame Vijeto teoremą)

   Ats.: $1$; $5$

2. $x^2 - 8x + 12 = 0$

   $x_1 \cdot x_2 = 12$

   $x_1 + x_2 = -8$

   $x_1 = 6$;     $x_2 = 2$     (naudojame Vijeto teoremą)

   Ats.: $2$; $6$

3. $x^2 + 4x + 3 = 0$

   $x_1 \cdot x_2 = 3$

   $x_1 + x_2 = -4$

   $x_1 = -3$;     $x_2 = -1$     (naudojame Vijeto teoremą)

   Ats.: $-1$; $-3$

4. $x^2 - 2x - 15 = 0$

   $x_1 \cdot x_2 = -15$

   $x_1 + x_2 = 2$

   $x_1 = -3$;     $x_2 = 5$     (naudojame Vijeto teoremą)

   Ats.: $-3$; $5$

Bikvadratinė lygtis

Lygtys, kuriose yra narys $x^2$ ir narys $x^4$ yra vadinamos bikvadratinėmis lygtimis.

1. $x^2 - x^2 - 6 = 0$

   $x^2 = t$

   $t^2 - t - 6 = 0$

   $D = b^2 - 4ac = 1 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25$

   $t_1 = \dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \dfrac{1+5}{2} = \dfrac{6}{2} = 3$

   $x^2 = 3$

   $x = \sqrt{3}$     $x = - \sqrt{3}$

   $t_2 = \dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \dfrac{1-5}{2} = \dfrac{-4}{2} = -2$

   $x^2 = -2$

   Sprendinių neturi

   Ats.: $-\sqrt{3}$; $\sqrt{3}$

2. $m^4 - 8m^2 + 7 = 0$

   $m^2 = t$

   $t^2 - 8t + 7 = 0$

   $D = b^2 - 4ac = 64 - 4\cdot 1 \cdot 7 = 36$

   $t_1 = \dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \dfrac{8+6}{2} = \dfrac{14}{2} = 7$

   $m_2 = 7$

   $m = \sqrt{7}$     $m = -\sqrt{7}$

   $t_2 = \dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \dfrac{8-6}{2} = 1$

   $m^2 = 1$

   $m=1$     $m=-1$

   Ats.: $-\sqrt{7}$; $-1$; $1$; $\sqrt{7}$

3. $(x^2 - 2x)^2 - 2(x^2-2x) = 3$

   $x^2 - 2x = a$

   $a^2 - 2a -3 = 0$

   $D = b^2 - 4ac = 4 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 16$

   $a_1 = \dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \dfrac{2+4}{2} = 3$

   $x^2 - 2x = 3$

   $x^2 - 2x - 3 = 0$

   $D = 4 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 16$

   $x_1 = \dfrac{2+4}{2} = 3$

   $x_2 = \dfrac{2-4}{2} = -1$

   $a_2 = \dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \dfrac{2-4}{2} = -1$

   $x^2 - 2x = -1$

   $x^2 - 2x + 1 = 0$

   $D = 4 - 4\cdot 1 \cdot 1 = 0$

   $x_1 = x_2 = \dfrac{2+0}{2} = 1$

   Ats.: $-1$; $1$; $3$

Lygtis su 2 kintamaisiais

$ax + by = c$

Grafikas yra tiesė

1. $3x + y= 12$

   $(2; 6)$ - lygties sprendinys

   $(-1; 9)$ - nėra lygties sprendinys

   $(1; 9), (3; 3), (-1; 15), (4; 0)...$

   Turi be galo daug sprendinių

2. $y = 12 - 3x$

   $(x; 12-3x)$

   $(4; 0), (5 -3), (2; 6), (3, 3)...$

Lygčių sistema

Dvi lygtys su 2 nežinomaisiais, vadinamos lygčių sistema.

$\begin{cases} 2x+ 5y = 4 \\ -5x + y = 17 \end{cases}$

Skaičių pora $(-3; 2)$ yra šios lygties sprendinys. Su šiomis reikmšmėmis abi lygybės yra teisingos.

Lygčių sistemų sprendimas keitimo būdu

1. Iš vienos lygties išsireiškiamas kuris nors kintamasis

2. Gauta išraiška perkeliama į kitą lygtį

3. Sprendžiame gautąją lygtį su 1 kintamuoju

4. Apskaičiuojame kito kintamojo reikšmę

1. $\begin{cases} x+ y= 2 \\ x + 2y = 6 \end{cases}$

   $\begin{cases} x = 2 - y \\ (2-y) + 2y = 6 \end{cases}$

   $2 - y + 2y = 6$

   $2 + y= 6$

   $y= 4$

   $x = 2 - 4= -2$

   Ats.: $x = -2$;     $y = 4$
   

2. $\begin{cases} 2x - y= 0 \\ 2y + x = 12 \end{cases}$

   $\begin{cases} -y = -2x \\ 2y + x = 12 \end{cases}$

   $\begin{cases} y = 2x \\ 5x = 12 \end{cases}$

   $5x = 12$

   $x = 2.4$

   $y = 2x = 4.8$

   Ats.: $(2.4; 4.8)$
   

3. $\begin{cases} 10x = 4.6 + 3y \\ 4y + 3.2 = 6x \end{cases}$

   $\begin{cases} x = \dfrac{4.6+3y}{10} \\ 4y + 3.2 = 6x \end{cases}$

   $\begin{cases} x = 0.46 + 0.3y \\ 4y + 3.2 = 6(0.46 + 0.3y) \end{cases}$

   $4y + 3.2 = 2.76 + 1.8y$

   $4y - 1.8y = 2.76 - 3.2$

   $2.2y = -0.44$

   $y = -0.2$

   $x = 0.46 + 0.3y = 0.46 + 0.3 \cdot (-0.2) = 0.46 - 0.06 = 0.4$

   Ats.: $(0.4; -0.2)$

Lygčių sistemos sprendimus sudėties būdu

1. Pasirenkame kintamajį kurį norime pakeisti

2. Pagaudiname vieną ar abi lygtis iš tokių skaičių, kad koeficientai būtų priešingi

3. Sudedame lygtis

4. Randame vieno kintamojo reikmšmę

5. Šia reikšmę įrašome į bet kurią lygtį ir apskaičiuojame kito kintamojo reikšmę

1. $\underline{ \begin{cases} 6x - 5y = 8 \\ 2x + 5y = 16 \end{cases} + }$

   $8x= 24$

   $x = 3$

   $2 \cdot 3 + 5y = 16$

   $6 + 5y = 16$

   $5y = 10$

   $y = 2$

   Ats.: $(3; 2)$

2. $\begin{cases} 3x - 8y = 28 \\ 11x - 8y = 24 \end{cases}$

   $\underline{ \begin{cases} -3x + 8y = -28 \\ 11x - 8y = 24 \end{cases} + }$

   $8x = -4$

   $x = -0.5$

   $-1.5-8y = 28$

   $y= -3 \dfrac{11}{16} = -3.6875$

   Ats.: $(-0.5; -3.6875)$

3. $\begin{cases} 12x - 7x = 2 \\ 4x - 5y = 6 \end{cases}$

   $\underline{ \begin{cases} 60x - 35y = 10 \\ -28x + 35y = -6 \end{cases} + }$

   $32x = -32$

   $x = -1$

   $12 \cdot (-1) - 7y = 2$

   $-7y = 14$

   $y = -2$

   Ats.: $(-1; -2)$

4. $\begin{cases} \dfrac{x}{2} - \dfrac{y}{3} = 1 \\ \dfrac{x}{4} + \dfrac{2y}{3} = 8 \end{cases}$

   $\begin{cases} 3x - 2y = 6 \\ 3x + 8y = 96 \end{cases}$

   $\underline{ \begin{cases} 3x -2y = 6 \\ -3x - 8y = -96 \end{cases} + }$

   $-10y = 102$

   $y = -10.2$

   $3x - 2y = 6$

   $3x + 20.4 = 6$

   $3x = - 14.4$

   $x = -4.8$

   Ats.: $(-4.8; -10.2)$

Lygčių sprendimas, kai tik viena lygtis yra tiesinė, o kita - antrojo laipsnio

Dažniausiai sprendžiamos keitimo būdu

1. $\begin{cases} x^2 + y = 38 \\ x + y = 8 \end{cases}$

   $\begin{cases} x^2 + y = 38 \\ y = 8 - x \end{cases}$

   $x^2 + 8 - x = 38$

   $x^2 - x - 30 = 0$

   $D = b^2 - 4ac = 1 - 4\cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121$

   $x_1 = \dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \dfrac{1+11}{2} = 6$

   $y_1 = 8 - x_1 = 8 - 6 = 2$

   $x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \dfrac{1-11}{2} = -5$

   $y_2 = 8-x_2 = 8 + 5 = 13$

   Ats.: $(-5; 13)$; $(6;2)$

2. $\begin{cases} 2x^2 + 5x - 3y = -12 \\ 2y - 7x = 8 \end{cases}$

   $\begin{cases} 2x^2 + 5x - 3y = -12 \\ 2y = 8 + 7x \end{cases}$

   $\begin{cases} 2x^2 + 5x - 3y = -12 \\ y = 4 + 3.5x \end{cases}$

   $2x^2 + 5x - 3(4+3.5x) = -12$

   $2x^2 + 5x - 12 - 10.5 = -12$

   $2x^2 - 5.5x = 0$

   $x(2x - 5.5)=0$

   $x = 0$

   Kai $x=0$, tai $y=4+3.5x = 4$

   $2x - 5.5 = 0$

   $2x = 5.5$

   $x = 2.75$

   Kai $x = 2.75$, tai $y = 4 + 3.5x = 13.625$

   Ats.: $(0; 4)$, $(2.75; 13.625)$

Uždaviniai su dviženklių ir triženklių skaičių išraiškomis

$\overline{xy} = 10x + y$

$\overline{xyz} = 100x + 10y + z$