Nelygybės

Paprastos nelygybės

1. $3x - 2 \ge x + 15$

   $3x-x \ge 15 + 2$

   $2x \ge 17$

   $x \ge 8.5$

   Ats.: $x \in [8.5; +\infty)$

2. $4x - 17 < 10x + 20$

   $4x - 10x < 20 + 17$

   $-6x < 37$

   $6x > -37$

   $x > -6 \dfrac{1}{6}$

   Ats.: $x \in (-6 \dfrac{1}{6}; +\infty)$

3. $2(x-3) \ge 2x$

   $2x - 6 \ge 2x$

   $-6 \ge 0$

   Ats.: Sprendinių nėra

4. $3(x - 2) < 3x$

   $3x - 6 < 3x$

   $-6 < 0$

   Ats.: $x \in (-\infty; +\infty)$

Nelygybių sistemos

1. $\begin{cases} 2x < 3 \\ -3x \ge 8 \end{cases}$

   $\begin{cases} x < 1.5 \\ x \le - \dfrac{8}{3} \end{cases}$

   Ats.: $x \in (-\infty; -\dfrac{8}{3}]$

2. $\begin{cases} 2x < 5 \\ -3x < 2 \end{cases}$

   $\begin{cases} x < 2.5 \\ x > -\dfrac{2}{3} \end{cases}$

   Ats.: $x \in (-\dfrac{2}{3}; 2.5)$

3. $\begin{cases} \dfrac{x}{2} - \dfrac{x}{3} \ge 2 + 5x \\ 2 < 3x \end{cases}$

   $\begin{cases} 3x - 2x \ge 12 + 30x \\ 2 < 3x \end{cases}$

   $\begin{cases} x - 30x \ge 12 \\ 3x > 2 \end{cases}$

   $\begin{cases} -29x \ge 12 \\ 3x > 2 \end{cases}$

   $\begin{cases} x \le -\dfrac{12}{29} \\ x > \dfrac{2}{3} \end{cases}$

   Ats.: Sprendinių nėra

Dvigubos nelygybės

Pagrindiniai sprendimo būdai:

1. Pakeičiame į nelygybių sistemą

2. Atvirkštiniais veiksmais (tinka tiktais tiesinėms)

1. $-10 \le 3x - 5 < 4$

   $\begin{cases} 3x - 5 < 4 \\ 3x - 5 \ge -10 \end{cases}$

   $\begin{cases} 3x < 9 \\ 3x \ge -5 \end{cases}$

   $\begin{cases} x < 3 \\ x \ge - \dfrac{5}{3} \end{cases}$

   Ats.: $x \in [-1 \dfrac{2}{3}; 3)$

2. $-5 < 4 -x < 18$

   $\begin{cases} 4 - x < 18 \\ 4 - x > -5 \end{cases}$

   $\begin{cases} -x < 14 \\ -x > -9 \end{cases}$

   $\begin{cases} x > -14 \\ x < 9 \end{cases}$

   Ats.: $x \in (-14; 9)$

3. $-7 \le 2x - 3 \le 1$

   $-4 \le 2x \le 4$

   $-2 \le x \le 2$

   Ats.: $x \in [-2; 2]$

4. $-1 , 2 -x < 3$

   $-3 < -x < 1$

   $3 > x > -1$

   $-1 < x < 3$

Kvadratinės nelygybės

Sprendimo žingsniai:

1. Reiškinį prilygname $0$

2. Išsprendžiame gautąją lygtį

3. Brėžiame parabolę

4. Užrašome atsakymo intervalus

1. $x^2 - 4x - 12 \ge 0$

   $x^2 - 4x - 12 = 0$

   $x_1 = 6$;     $x_2 = -2$

   Ats.: $x \in (-\infty; -2] \cup [6; +\infty)$

2. $x^2 - x - 90 < 0$

   $x^2 - x - 90 = 0$

   $x_1 = 10$     $x_2 = -9$

   Ats.: $x \in (-9; 10)$

3. $18x - \dfrac{1}{2} x^2 > 0$

   $-\dfrac{1}{2} x^2 + 18x = 0$

   $-x^2 + 36x = 0$

   $x(-x + 36) = 0$

   $x= 0$

   $-x + 36 = 0$

   $-x = -36$

   $x = 36$

   Ats.: $x\in (0; 36)$

4. $7 - x^2 \le 0$

   $7 - x^2 = 0$

   $-x^2 = -7$

   $x^2 = 7$

   $x = -\sqrt{7}$     $x = \sqrt{7}$

   Ats.: $x\in (-\infty; \sqrt{7}] \cup [\sqrt{7}; +\infty)$

5. $x^2 + x + 6 > 0$

   $x^2 + x + 6 = 0$

   $D = 1 - 4\cdot1 \cdot 6 = -23$

   Lygtis sprendinių neturi, todėl parabolė nekerta $x$ ašies

   Ats.: $x \in (-\infty; +\infty)$     ($x\in \R$)

6. $x^2 - x + 20 < 0$

   $x^2 - x + 20 = 0$

   $D = 1 - 4 \cdot 20 = -79$

   Lygtis sprendinių neturi, todėl parabolė nekerta $x$ ašies

   

   Ats.: sprendinių nėra

7. $x^2 - 4x + 4 > 0$

   $x^2 - 4x + 4 = 0$

   $D = 16 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 0$

   $x_1 = x_2 = 2$

   Ats: $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$

8. $x^2 - 6x + 6 \le 0$

   $x^2 - 6x + 9 = 0$

   $D = 36 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 0$

   $x_1 = x_2 = 3$

   Ats.: $x = 3$